Question 20
把上界改成 i <= n 的后果
如果将 `for (int i = 2; i * i <= n; i++)` 改为 `for (int i = 2; i <= n; i++)`,输入 10 时程序的输出是什么?
正确答案
A. 将不能正确计算 10 以内素数个数及其和
一句话考点
如果把循环跑到 `i == n`,那么任何 `n > 1` 都会因为 `n % n == 0` 被错误判成非素数。
Shared Context
阅读程序(1)素数统计
这一组程序围绕素数判断函数展开,分别统计素数个数和素数和。
核心算法
试除法判断素数,只需要枚举到 sqrt(n)。
高频陷阱
把循环条件改成 `i <= n` 会让所有大于 1 的数都被判成非素数。
题型定位
属于“读懂函数职责 + 模拟几个样例”的标准阅读程序题。
cpp
共享程序片段#include <iostream>
using namespace std;
bool isPrime(int n) {
if (n <= 1) {
return false;
}
for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
if (n % i == 0) {
return false;
}
}
return true;
}
int countPrimes(int n) {
int count = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (isPrime(i)) {
count++;
}
}
return count;
}
int sumPrimes(int n) {
int sum = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (isPrime(i)) {
sum += i;
}
}
return sum;
}
int main() {
int x;
cin >> x;
cout << countPrimes(x) << " " << sumPrimes(x) << endl;
return 0;
}题组阅读提醒
程序先定义 `isPrime` 判断某个整数是不是素数,再通过 `countPrimes` 与 `sumPrimes` 分别统计 2 到 n 的素数个数和素数和。
关键观察点有两个:一是 `i * i <= n` 代表只需枚举到平方根;二是两个统计函数都采用从 2 到 n 的线性扫描,因此输出是“包含 n 在内”的统计结果。
Prompt
题目与选项
如果将 `for (int i = 2; i * i <= n; i++)` 改为 `for (int i = 2; i <= n; i++)`,输入 10 时程序的输出是什么?
A. 将不能正确计算 10 以内素数个数及其和
B. 仍然输出 4 和 17
C. 输出 3 和 10
D. 输出结果不变,但运行时间更短
Quick Check
做题抓手
先判断题型
先定位知识点,再决定是公式套用、手推样例还是结构重建。
再核对边界
第一轮很爱在闭区间、下标偏移、递归终止条件和布尔返回值上设陷阱。
最后看输出层次
尤其是阅读程序题,要分清函数返回值、变量值和最终打印值是不是同一件事。
Explanation
详细讲解
Step 1
原本只枚举到平方根,不会检查 `i == n`。改成 `i <= n` 后,当 `n` 本身是素数时,循环最终会跑到 `i = n`。
Step 2
此时 `n % i == 0` 成立,函数就会返回 `false`,导致所有大于 1 的数都被错判为非素数。
Step 3
因此程序不再能正确统计 10 以内素数个数和素数和,正确答案是 A。
Pitfalls
易错点
- 只看到循环次数变多,就想当然地认为“只是变慢,不影响结果”。
- 没有意识到 `n` 自身也是它的因子,`n % n` 一定等于 0。
Extend
拓展补充
- 判断素数时,枚举上界不能写到 n 自己,否则会把所有素数误杀。
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sumPrimes(50) 输出
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样例 {10,15,20} 的输出