Question 3
带限制的组合计数
某公司有 10 名员工，分为 A、B、C 三个部门，人数分别为 4、3、3。现选 4 人组成工作小组，且每个部门至少 1 人，共有多少种选法？
单项选择2 分难度 中等
正确答案
B. 126
一句话考点
“4 人且每部门至少 1 人”意味着人数分配只能是 (2,1,1)，再讨论哪个部门出 2 人。
组合计数分类讨论
Prompt
题目与选项
某公司有 10 名员工，分为 A、B、C 三个部门，人数分别为 4、3、3。现选 4 人组成工作小组，且每个部门至少 1 人，共有多少种选法？
A. 120
B. 126
C. 132
D. 238
Quick Check
做题抓手
先判断题型
先定位知识点，再决定是公式套用、手推样例还是结构重建。
再核对边界
第一轮很爱在闭区间、下标偏移、递归终止条件和布尔返回值上设陷阱。
最后看输出层次
尤其是阅读程序题，要分清函数返回值、变量值和最终打印值是不是同一件事。
Explanation
详细讲解
Step 1
4 个人分到 3 个部门且每个部门至少 1 人，唯一可能的人数分配是 `(2, 1, 1)`。
Step 2
如果 A 部门出 2 人，则有 `C(4,2) * C(3,1) * C(3,1) = 6 * 3 * 3 = 54` 种。
Step 3
如果 B 部门出 2 人，则有 `C(3,2) * C(4,1) * C(3,1) = 3 * 4 * 3 = 36` 种；C 部门同理也是 36 种。
Step 4
总数 `54 + 36 + 36 = 126`，因此选 B。
Pitfalls
易错点
- 直接算 `C(10,4)`，忘了“每个部门至少 1 人”的限制。
- 没有先看分配方案，导致把同一种分法重复计数或漏计。
Extend
拓展补充
- 这类题先做“人数分配”，再做“每个部分内部选法”，通常最清晰。
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