Question 17

修改循环条件后的影响

若将 `isPrime` 函数中的循环条件改为 `i <= n / 2`,输入 20 时,`countPrimes(20)` 的输出将变为 6。

判断题阅读程序1.5难度 中等

正确答案

×

一句话考点

把循环上界从平方根改到 n/2 会变慢,但不会改变素数判断结果。

素数程序修改

Shared Context

阅读程序(1)素数统计

这一组程序围绕素数判断函数展开,分别统计素数个数和素数和。

核心算法

试除法判断素数,只需要枚举到 sqrt(n)。

高频陷阱

把循环条件改成 `i <= n` 会让所有大于 1 的数都被判成非素数。

题型定位

属于“读懂函数职责 + 模拟几个样例”的标准阅读程序题。

cpp

共享程序片段
#include <iostream>
using namespace std;

bool isPrime(int n) {
  if (n <= 1) {
    return false;
  }
  for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
    if (n % i == 0) {
      return false;
    }
  }
  return true;
}

int countPrimes(int n) {
  int count = 0;
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    if (isPrime(i)) {
      count++;
    }
  }
  return count;
}

int sumPrimes(int n) {
  int sum = 0;
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    if (isPrime(i)) {
      sum += i;
    }
  }
  return sum;
}

int main() {
  int x;
  cin >> x;
  cout << countPrimes(x) << " " << sumPrimes(x) << endl;
  return 0;
}

题组阅读提醒

程序先定义 `isPrime` 判断某个整数是不是素数,再通过 `countPrimes` 与 `sumPrimes` 分别统计 2 到 n 的素数个数和素数和。

关键观察点有两个:一是 `i * i <= n` 代表只需枚举到平方根;二是两个统计函数都采用从 2 到 n 的线性扫描,因此输出是“包含 n 在内”的统计结果。

本题属于第 阅读程序 分区,题组覆盖题号: 16、17、18、19、20

Prompt

题目与选项

若将 `isPrime` 函数中的循环条件改为 `i <= n / 2`,输入 20 时,`countPrimes(20)` 的输出将变为 6。

判断题没有选项,直接根据程序逻辑判断题干陈述是否成立。

Quick Check

做题抓手

先判断题型

先确认陈述是在描述函数职责、输出值还是程序修改后的影响。

再核对边界

第一轮很爱在闭区间、下标偏移、递归终止条件和布尔返回值上设陷阱。

最后看输出层次

尤其是阅读程序题,要分清函数返回值、变量值和最终打印值是不是同一件事。

Explanation

详细讲解

  1. Step 1

    原程序用 `i * i <= n` 是为了优化枚举范围,只检查到平方根即可。

  2. Step 2

    如果改成 `i <= n / 2`,仍然会检查所有可能的真因子,因此逻辑上依旧能正确判断素数,只是效率更低。

  3. Step 3

    20 以内素数仍然是 2、3、5、7、11、13、17、19,共 8 个,不会变成 6,所以该说法错误,应填 `×`。

Pitfalls

易错点

  • 看到循环条件变化,就误以为答案一定会变。
  • 把 20 以内素数个数数错,漏掉 17、19 等后面的素数。

Extend

拓展补充

  • 试除法只要检查到平方根就足够,因为若 `n = a * b` 且 `a > sqrt(n)`,则必有 `b < sqrt(n)`。

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